Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c /a ) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Тойлонов Аргымай и Тойлонов Эркей

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

А с 2013 года аттестация по математике при окончании основной школы проводится в форме ОГЭ. Как и ЕГЭ, ОГЭ призвана проводить аттестацию не только по алгебре, но и по всему курсу математики основной школы.

Львиная доля заданий, так или иначе сводятся к составлению уравнений и их решений. Чтобы перейти к исследованию данной темы, нам необходимо было ответить на вопросы: «Какие виды уравнений встречаются в заданиях ОГЭ? » и «Какие существуют способы решения данных уравнений?»

Таким образом, возникает необходимость изучения всех видов уравнений, которые встречаются в заданиях ОГЭ. Все сказанное выше определяет

Целью работы является комплектовать все виды уравнений, встречающихся в заданиях ОГЭ по видам и разобрать основные способы решения данных уравнений.

Для реализации цели нами поставлены следующие задачи:

1) Изучить основные ресурсы для подготовки к основным государственным экзаменам.

2) Комплектовать все уравнения по видам.

3) Провести анализ способов решения данных уравнений.

4) Составить сборник со всеми видами уравнений и способами их решений.

Объект исследования: уравнения.

Предмет исследования: уравнения в заданиях ОГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Чибитская средняя общеобразовательная школа»

УЧЕБНЫЙ ПРОЕКТ:

«УРАВНЕНИЯ В ЗАДАНИЯХ ОГЭ»

Тойлонов Эркей

Обучающиеся 8 класса

руководитель: Тойлонова Надежда Владимировна, учитель математики.

Сроки реализации проекта:

с 13.12.2017 по 13.02. 2018 г.

Введение ………………………………………………………………..
Историческая справка …………………………………………………
Глава 1 Решение уравнений …………………………………………...
1.1 Решение линейных уравнений ……………………………………
1.2 Квадратные уравнения ……………………………………………
1.2.1 Неполные квадратные уравнения ………………………………	9-11
1.2.2 Полные квадратные уравнения …………………………………	11-14
1.2.3 Частные методы решения квадратных уравнений …………….	14-15
1.3 Рациональные уравнения ………………………………………….	15-17
Глава 2 Сложные уравнения ………………………………………….	18-24
Выводы …………………………………………………………………
Список использованной литературы …………………………………
Приложение 1 «Линейные уравнения» ……………………………….	26-27
Приложение 2 «Неполные квадратные уравнения» …………………	28-30
Приложение 3 «Полные квадратные уравнения» ……………………	31-33
Приложение 4 «Рациональные уравнения» ………………………….	34-35
Приложение 5 «Сложные уравнения» ………………………………..	36-40

ВВЕДЕНИЕ

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

А с 2013 года аттестация по математике при окончании основной школы проводится в форме ОГЭ. Как и ЕГЭ, ОГЭ призвана проводить аттестацию не только по алгебре, но и по всему курсу математики основной школы.

Львиная доля заданий, так или иначе сводятся к составлению уравнений и их решений. Чтобы перейти к исследованию данной темы, нам необходимо было ответить на вопросы: «Какие виды уравнений встречаются в заданиях ОГЭ? » и «Какие существуют способы решения данных уравнений?»

Таким образом, возникает необходимость изучения всех видов уравнений, которые встречаются в заданиях ОГЭ. Все сказанное выше определяет актуальность проблемы выполненной работы.

Целью работы является комплектовать все виды уравнений, встречающихся в заданиях ОГЭ по видам и разобрать основные способы решения данных уравнений.

Для реализации цели нами поставлены следующие задачи:

1) Изучить основные ресурсы для подготовки к основным государственным экзаменам.

2) Комплектовать все уравнения по видам.

3) Провести анализ способов решения данных уравнений.

4) Составить сборник со всеми видами уравнений и способами их решений.

Объект исследования: уравнения.

Предмет исследования: уравнения в заданиях ОГЭ.

План работы над проектом:

1. Формулирование темы проекта.
2. Подбор материала из официальных источников по заданной теме.
3. Обработка и систематизация информации.
4. Реализация проекта.
5. Оформление проекта.
6. Защита проекта.

Проблема : углубить представления об уравнениях. Показать основные методы решения уравнений, представленных в заданиях ОГЭ в первой и второй части.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал и изучить новый. В проект включены: линейные уравнения с переносом слагаемых из одной части уравнения в другую и с применением свойства уравнений, так же задачи, решаемые уравнением, все виды квадратных уравнений и методы решения рациональных уравнений.

Математика... выявляет порядок, симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель.

Историческая справка

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Итак, что такое уравнение?

Существуют уравнение в правах, уравнение времени (перевод истинного солнечного времени в среднее солнечное время, принятое в общежитии и в науке; астр.) и т.д..

В математике – это математическое равенство, содержащее одну или несколько неизвестных величин и сохраняющее свою силу только при определенных значениях этих неизвестных величин.

В уравнениях с одной переменной неизвестное обычно обозначают буквой « х ». Значение « х », удовлетворяющее данным условиям, называют корнем уравнения.

Уравнения бывают разных видов :

ax + b = 0. - Линейное уравнение.
ax 2 + bx + c = 0. - Квадратное уравнение.
ax 4 + bx 2 + c = 0. - Биквадратное уравнение.

– Рациональное уравнение.

– Иррациональное уравнение.
Существуют такие способы решения уравнений как: алгебраический, арифметический и геометрический. Рассмотрим алгебраический способ.

Решить уравнение - это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное равенство или доказать, что решений нет. Решение уравнений, пусть это и сложно, захватывает нас. Ведь это, действительно, удивительно, когда от одного неизвестного числа зависит целый поток чисел.

В уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходное выражение. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть выражения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

Глава 1 Решение уравнений

1.1 Решение линейных уравнений .

Сейчас мы с вами рассмотрим решения линейных уравнений. Вспомним, что уравнение вида называется линейным уравнением или уравнением первой степени так как при переменной « х » старшая степень находится в первой степени.

Решение линейного уравнения очень простое:

Пример 1. Решите уравнение 3 x +3=5 x

Линейное уравнение решается методом переноса членов содержащих неизвестные в левую часть от знака равенства, свободные коэффициенты в правую часть от знака равенства:

3 x – 5 x = – 3

2 x=-3

x =1,5

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство называется корнем уравнения.

Выполнив проверку получим:

Значит 1,5 – корень уравнения.

Ответ: 1,5.

Решения уравнений методом переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, при этом знак слагаемых меняется на противоположный и применяют свойства уравнений – обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение, можно рассмотреть при решении следующих уравнений.

Пример 2. Решите уравнения:

а) 6 x +1=− 4 x ; б) 8+7 x =9 x +4; в) 4(x −8)=− 5.

Решение.

а) Методом переноса решаем

6 x + 4 x = ─1;

10 x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Проверка:

Ответ: –0,1

б) Аналогично предыдущему примеру решаем методом переноса:

Ответ: 2.

в) В данном уравнении необходимо раскрыть скобки, применяя распределительное свойство умножения относительно операции сложения.

Ответ: 6,75.

1.2 Квадратные уравнения

Уравнение вида называют квадратным уравнением, где a – старший коэффициент, b – средний коэффициент, с – свободный член.

В зависимости от коэффициентов а, b и с – уравнение может быть, полным или не полным, приведенным или не приведенным.

1.2.1 Неполные квадратные уравнения

Рассмотрим способы решения неполных квадратных уравнений:

1) Начнем разобраться с решением первого вида неполных квадратных уравнений при c=0 . Неполные квадратные уравнения вида a·x 2 +b·x=0 позволяет решить метод разложения на множители . В частности метод вынесения за скобки.

Очевидно, мы можем, находящийся в левой части уравнения, для чего достаточно вынести за скобки общий множитель x . Это позволяет перейти от исходного неполного квадратного уравнения к равносильному уравнению вида: x·(a·x+b)=0 .

А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x=0 или a·x+b=0 , последнее из которых является линейным и имеет корень x=− .

a·x 2 +b·x=0 имеет два корня

x=0 и x=− .

2) Теперь рассмотрим, как решаются неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b равен нулю, а c≠0 , то есть, уравнения вида a·x 2 +c=0 . Мы знаем, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число дают равносильное уравнение. Поэтому можно провести следующие равносильные преобразования неполного квадратного уравнения a·x 2 +c=0 :

• перенести c в правую часть, что дает уравнение a·x 2 =−c ,
• и разделить обе его части на a , получаем.

Полученное уравнение позволяет сделать выводы о его корнях.

Если число – отрицательное, то уравнение не имеет корней. Это утверждение следует из того, что квадрат любого числа есть число неотрицательное.

Если же – положительное число, то дело с корнями уравнения обстоит иначе. В этом случае, нужно вспомнить, что корень уравнения есть, им является число. Корень уравнения вычисляется по схеме:

Известно, что подстановка в уравнение вместо x его корней обращает уравнение в верное равенство.

Обобщим информацию этого пункта. Неполное квадратное уравнение a·x 2 +c=0 равносильно уравнению , которое

3) Решения неполных квадратных уравнений, в которых коэффициенты b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида a·x 2 =0 . Уравнению a·x 2 =0 следует x 2 =0 , которое получается из исходного делением его обеих частей на отличное от нуля число a . Очевидно, корнем уравнения x 2 =0 является нуль, так как 0 2 =0 . Других корней это уравнение не имеет.

Итак, неполное квадратное уравнение a·x 2 =0 имеет единственный корень x=0 .

Пример 3. Решите уравнения: а) x 2 =5x, если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите меньший из них ;

б) , если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите больший из них ;

в) x 2 −9=0, если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите меньший из них.

Решение.

Получили неполное квадратное уравнение к котором отсутствует свободный член. Решаем методом вынесения за скобки.

У равнение умеет два корня, меньшее из которых является 0.

Ответ: 0.

б) . Аналогично предыдущему примеру применяем метод вынесения за скобки

В ответе необходимо указать больший из корней. Таковым является число 2.

Ответ: 2.

в) . Данное уравнение является неполным квадратным уравнением, у которого отсутствует средний коэффициент.

Меньшим из данных корней является число – 3.

Ответ: –3.

1.2.2 Полные квадратные уравнения.

1. Дискриминант, основная формула корней квадратного уравнения

Существуют формула корней.

Запишем формулу корней квадратного уравнения пошагово:

1) D=b 2 −4·a·c – так называемый .

а) если D

б) если D>0, то уравнение не имеет один корень:

в) если D не имеет два корня:

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

На практике при решении квадратных уравнения можно сразу использовать формулу корней, с помощью которой вычислить их значения. Но это больше относиться к нахождению комплексных корней.

Однако в школьном курсе алгебры обычно речь идет не о комплексных, а о действительных корнях квадратного уравнения. В этом случае целесообразно перед использованием формул корней квадратного уравнения предварительно найти дискриминант, убедиться, что он неотрицательный (в противном случае можно делать вывод, что уравнение не имеет действительных корней), и уже после этого вычислять значения корней.

Приведенные рассуждения позволяют записать алгоритм решения квадратного уравнения . Чтобы решить квадратное уравнение a·x 2 +b·x+c=0 , надо:

• по формуле дискриминанта D=b 2 −4·a·c вычислить его значение;
• заключить, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, если дискриминант отрицательный;
• вычислить единственный корень уравнения по формуле, если D=0 ;
• найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней, если дискриминант положительный.

2. Дискриминант, вторая формула корней квадратного уравнения (при четном втором коэффициенте).

Для решения квадратных уравнений вида , при четном коэффициенте b=2k существуют другая формула.

Запишем новую формулу корней квадратного уравнения при :

1) D’=k 2 −a·c – так называемый дискриминант квадратного уравнения .

а) если D’ не имеет действительных корней;

б) если D’>0, то уравнение не имеет один корень:

в) если D’ не имеет два корня:

Пример 4. Решите уравнение 2x 2 −3x+1=0.. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Решение. В первом случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a=2 , b=-3 и c=1 D=b 2 −4·a·c=(-3) 2 −4·2·1=9-8=1 . Так как 1>0

У нас получилось два корня больший из которых является число 1.

Ответ: 1.

Пример 5. Решите уравнение x 2 −21=4x.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Решение. По аналогии с предыдущим примером перенесем 4ч в левую сторону от знака равенства и получим:

В данном случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a=1 , k=-2 и c=−21 . Согласно алгоритму, сначала надо вычислить дискриминант D’=k 2 −a·c=(-2) 2 −1·(−21)=4+21=25 . Число 25>0 , то есть, дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле корней

Ответ: 7.

1.2.3 Частные методы решения квадратных уравнений.

1) Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Теорема Виета.

Формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты. Отталкиваясь от формулы корней, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Наиболее известной и применимой формулой называемой Теоремой Виета.

Теорема: Пусть - корни приведенного квадратного уравнения . Тогда произведение корней равна свободному члену, а сумма корней противоположному значению второго коэффициента:

Используя уже записанные формулы можно получить и ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. К примеру, можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты.

Пример 6. а) Решите уравнение x 2

б) Решите уравнение x 2

в) Решите уравнение x 2

Решение.

а) Решите уравнение x 2 −6x+5=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Выбираем меньший из корней

Ответ: 1

б) Решите уравнение x 2 +7x+10=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Применяя теорему Виета, записываем формулы для корней

Рассуждая логически делаем вывод, что . Выбираем больший из корней

Ответ: ─2.

в) Решите уравнение x 2 ─5x─14=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Применяя теорему Виета, записываем формулы для корней

Рассуждая логически делаем вывод, что . Выбираем меньший из корней

Ответ: ─2.

1.3 Рациональные уравнения

Если вам дано уравнение с дробями вида с переменной в числителе или в знаменателе, то такое выражение называется рациональным уравнением. Рациональное уравнение – это любое уравнение, которое включает в себя не менее одного рационального выражения. Решаются рациональные уравнения так же, как любые уравнения: выполняются те же операции с обеих сторон уравнения, пока переменная не обособляется на одной стороне уравнения. Тем не менее, есть 2 метода решения рациональных уравнений.

1) Умножение крест-накрест. При необходимости перепишите данное вам уравнение так, чтобы на каждой его стороне находилась одна дробь (одно рациональное выражение); только в этом случае вы сможете воспользоваться методом умножения крест-накрест.

Умножьте числитель левой дроби на знаменатель правой. Повторите это с числителем правой дроби и знаменателем левой.

• Умножение крест-накрест основано на основных алгебраических принципах. В рациональных выражениях и других дробях можно избавиться от числителя, соответственно перемножив числители и знаменатели двух дробей.
• Приравняйте полученные выражения и упростите их.
• Решите полученное уравнение, то есть найдите «х». Если «х» находится с обеих сторон уравнения, обособьте его на одной стороне уравнения.

2) Наименьший общий знаменатель (НОЗ) используется для упрощения данного уравнения. Этот метод применяется в том случае, когда вы не можете записать данное уравнение с одним рациональным выражением на каждой стороне уравнения (и воспользоваться методом умножения крест-накрест). Этот метод используется, когда вам дано рациональное уравнение с 3 или более дробями (в случае двух дробей лучше применить умножение крест-накрест).

• Найдите наименьший общий знаменатель дробей (или наименьшее общее кратное). НОЗ – это наименьшее число, которое делится нацело на каждый знаменатель.
• Умножьте и числитель, и знаменатель каждой дроби на число, равное результату деления НОЗ на соответствующий знаменатель каждой дроби.
• Найдите х. Теперь, когда вы привели дроби к общему знаменателю, вы можете избавиться от знаменателя. Для этого умножьте каждую сторону уравнения на общий знаменатель. Затем решите полученное уравнение, то есть найдите «х». Для этого обособьте переменную на одной из сторон уравнения.

Пример 7. Решите уравнения: а) ; б) в) .

Решение.

а) . Применяем метод умножения крест накрест.

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

получили линейное уравнение с одной неизвестной

Ответ: ─10.

б) , аналогично предыдущему примеру применяем метод умножения крест на крест.

Ответ: ─1,9.

в) , применяем метод наименьшего общего знаменателя (НОЗ).

В данном примере общий знаменатель будет 12.

Ответ: 5.

Глава 2 Сложные уравнения

Уравнения, относящиеся к категории сложных уравнений, могут сочетать в себе различные методы и приемы решения. Но, так или иначе, все уравнения методом логических рассуждений и равносильных действий приводят к уравнениям, которые ранее были изучены.

Пример 7. Решите уравнение( x +3) 2 =(x +8) 2 .

Решение. По формулам сокращенного умножения раскроем скобки:

Переносим все члены за знак равентсва и приводим подобные,

Ответ: 5,5.

Пример 8. Решите уравнения: а)(− 5 x +3)(− x +6)=0, б) (x +2)(− x +6)=0.

Решение.

а)(− 5 x +3)(− x +6)=0; раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

получили полное квадратное уравнение, которое будем решать через первую формулу дискриминанта

уравнение имеет два корня

Ответ: 0,6 и 6.

б) (x +2)(− x +6)=0, для данного уравнения сделаем логические рассуждения (произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю). Значит

Ответ: ─2 и 6.

Пример 9. Решите уравнения: , б) .

Решение. Найдем наименьший общий знаменатель

Запишем в порядке убывания степеней переменной

; получили полное квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом

Уравнение имеет два действительных корня

Ответ: .

б) . Рассуждения аналогичны а). Находим НОЗ

Раскрываем скобки приводим подобные слагаемые

решаем полное квадратное уравнение через общую формулу

Ответ: .

Пример 10. Решите уравнения:

Решение.

а) , Замечаем, что в левой части выражение внутри скобок представляет собой формулу сокращенного умножения, точнее квадрат суммы двух выражений. Преобразуем его

; перенесем члены данного уравнения в одну сторону

вынесем за скобки

Произведение равно нулю когда один из множителей равен нулю. Значит,

Ответ: ─2, ─1 и 1.

б) Рассуждаем так же как и для примера а)

, по теореме Виета

Ответ:

Пример 11. Решите уравнения а)

Решение.

а) ; [в левой и правой части уравнения можно применить метод вынесения за скобки, причем в левой части вынесем , а в правой части вынесем число 16.]

[перенесем все в одну сторону и еще раз применим метод вынесения за скобки. Выносить будем общий множитель ]

[произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.]

Ответ:

б) . [Данное уравнение подобно уравнению а). Поэтому в данном случае применим метод группировки]

Ответ:

Пример 12. Решите уравнение =0.

Решение.

0 [биквадратное уравнение. Решается методом замены переменной ].

0; [Применяя теорему Виета получаем корни]

. [возвращаемся к предыдущим переменным]

Ответ:

Пример 13. Решите уравнение

Решение. [биквадратное уравнение, избавляемся от четной степени, применяя знаки модуля.]

[получили два квадратных уравнения, которые решаем через основную формулу корней квадратного уравнения]

действительных корней нет уравнение имеет два корня

Ответ:

Пример 14. Решите уравнение

Решение.

ОДЗ:

[переносим все члены уравнения левую сторону и приведем подобные слагаемые]

[получили приведенное квадратное уравнение, которое легко решается по теореме Виета]

Число – 1 не удовлетворяет ОДЗ заданного уравнения, поэтому он не может быть корнем данного уравнения. Значит, корнем является только число 7.

Ответ: 7.

Пример 15. Решите уравнение

Решение.

Сумма квадратов двух выражений может быть равна нулю только в том случае, когда выражения равны нулю одновременно. А именно

[Решаем каждое уравнение по отдельности]

По теореме Виета

Совпадение корней равных –5 и будет являться корнем уравнения.

Ответ: – 5.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итоги проделанной работы можно сделать вывод: уравнения играют огромную роль в развитии математики. Мы систематизировали полученные знания, обобщили пройденный материал. Эти знания могут подготовиться нам к предстоящим экзаменам.

Наша работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

• по окончании проекта мы систематизировали и обобщили изученные ранее способы решения уравнений;
• познакомились с новыми способами решения уравнений и свойствами уравнений;

• рассмотрели все виды уравнений, которые есть в заданиях ОГЭ как в первой части, так и во второй части.
• Создали методический сборник «Уравнения в заданиях ОГЭ».

Считаем, что цель поставленную перед нами – рассмотреть все виды уравнений в заданиях основного государственного экзамена по математике мы достигли.

Список использованной литературы:

1. Б.В. Гнеденко «Математика в современном мире». Москва «Просвещение» 1980 г.

2. Я.И. Перельман «Занимательная алгебра». Москва «Наука» 1978 г.

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

Приложение 1

Линейные уравнения

1. Найдите корень уравнения

2. Найдите корень уравнения

3. Найдите корень уравнения

Приложение 2

Неполные квадратные уравнения

1. Решите уравнение x 2 =5x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

2. Решите уравнение 2x 2 =8x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

3. Решите уравнение 3x 2 =9x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

4. Решите уравнение 4x 2 =20x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

5. Решите уравнение 5x 2 =35x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

6. Решите уравнение 6x 2 =36x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

7. Решите уравнение 7x 2 =42x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

8. Решите уравнение 8x 2 =72x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

9. Решите уравнение 9x 2 =54x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

10. Решите уравнение 10x 2 =80x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

11. Решите уравнение 5x 2 −10x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

12. Решите уравнение 3x 2 −9x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

13. Решите уравнение 4x 2 −16x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

14. Решите уравнение 5x 2 +15x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

15. Решите уравнение 3x 2 +18x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

16. Решите уравнение 6x 2 +24x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

17. Решите уравнение 4x 2 −20x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

18. Решите уравнение 5x 2 +20x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

19. Решите уравнение 7x 2 −14x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

20. Решите уравнение 3x 2 +12x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

21. Решите уравнение x 2 −9=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

22. Решите уравнение x 2 −121=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

23. Решите уравнение x 2 −16=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

24. Решите уравнение x 2 −25=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

25. Решите уравнение x 2 −49=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

26. Решите уравнение x 2 −81=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

27. Решите уравнение x 2 −4=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

28. Решите уравнение x 2 −64=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

29. Решите уравнение x 2 −36=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

30. Решите уравнение x 2 −144=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

31. Решите уравнение x 2 −9=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

32. Решите уравнение x 2 −121=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

33. Решите уравнение x 2 −16=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

34. Решите уравнение x 2 −25=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

35. Решите уравнение x 2 −49=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

36. Решите уравнение x 2 −81=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

37. Решите уравнение x 2 −4=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

38. Решите уравнение x 2 −64=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

39. Решите уравнение x 2 −36=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

40. Решите уравнение x 2 −144=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Приложение 3

Полные квадратные уравнения

1. Решите уравнение x 2 +3x=10. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

2. Решите уравнение x 2 +7x=18. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

3. Решите уравнение x 2 +2x=15. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

4. Решите уравнение x 2 −6x=16. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

5. Решите уравнение x 2 −3x=18. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

6. Решите уравнение x 2 −18=7x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

7. Решите уравнение x 2 +4x=21. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

8. Решите уравнение x 2 −21=4x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

9. Решите уравнение x 2 −15=2x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

10. Решите уравнение x 2 −5x=14. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

11. Решите уравнение x 2 +6=5x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

12. Решите уравнение x 2 +4=5x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

13. Решите уравнение x 2 −x=12. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

14. Решите уравнение x 2 +4x=5. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

15. Решите уравнение x 2 −7x=8. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

16. Решите уравнение x 2 +7=8x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

17. Решите уравнение x 2 +18=9x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

18. Решите уравнение x 2 +10=7x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

19. Решите уравнение x 2 −20=x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

20. Решите уравнение x 2 −35=2x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

21. Решите уравнение 2x 2 −3x+1=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

22. Решите уравнение 5x 2 +4x−1=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

23. Решите уравнение 2x 2 +5x−7=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

24. Решите уравнение 5x 2 −12x+7=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

25. Решите уравнение 5x 2 −9x+4=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

26. Решите уравнение 8x 2 −12x+4=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

27. Решите уравнение 8x 2 −10x+2=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

28. Решите уравнение 6x 2 −9x+3=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

29. Решите уравнение 5x 2 +9x+4=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

30. Решите уравнение 5x 2 +8x+3=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

31. Решите уравнение x 2 −6x+5=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

32. Решите уравнение x 2 −7x+10=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

33. Решите уравнение x 2 −9x+18=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

34. Решите уравнение x 2 −10x+24=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

35. Решите уравнение x 2 −11x+30=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

36. Решите уравнение x 2 −8x+12=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

37. Решите уравнение x 2 −10x+21=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

38. Решите уравнение x 2 −9x+8=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

39. Решите уравнение x 2 −11x+18=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

40. Решите уравнение x 2 −12x+20=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Приложение 4.

Рациональные уравнения.

1. Найдите корень уравнения

2. Найдите корень уравнения

3. Найдите корень уравнения

4. Найдите корень уравнения

5. Найдите корень уравнения

6. Найдите корень уравнения .

7. Найдите корень уравнения

8. Найдите корень уравнения

9. Найдите корень уравнения .

10. Найдите корень уравнения

11. Найдите корень уравнения .

12. Найдите корень уравнения

13. Найдите корень уравнения

14. Найдите корень уравнения

15. Найдите корень уравнения

16. Найдите корень уравнения

17. Найдите корень уравнения

18. Найдите корень уравнения

19. Найдите корень уравнения

20. Найдите корень уравнения

21. Найдите корень уравнения

22. Найдите корень уравнения

23. Найдите корень уравнения

Приложение 5

Сложные уравнения.

1. Найдите корень уравнения (x+3) 2 =(x+8) 2 .

2. Найдите корень уравнения (x−5) 2 =(x+10) 2 .

3. Найдите корень уравнения (x+9) 2 =(x+6) 2 .

4. Найдите корень уравнения (x+10) 2 =(x−9) 2 .

5. Найдите корень уравнения (x−5) 2 =(x−8) 2 .

6. Найдите корень уравнения .

7.Найдите корень уравнения .

8. Найдите корень уравнения .

9. Найдите корень уравнения .

10. Найдите корень уравнения .

11. Решите уравнение (x+2)(− x+6)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

12. Решите уравнение (x+3)(− x−2)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

13. Решите уравнение (x−11)(− x+9)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

14. Решите уравнение (x−1)(− x−4)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

15. Решите уравнение (x−2)(− x−1)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

16. Решите уравнение (x+20)(− x+10)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

17. Решите уравнение (x−2)(− x−3)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

18. Решите уравнение (x−7)(− x+2)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

19. Решите уравнение (x−5)(− x−10)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

20. Решите уравнение (x+10)(− x−8)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

21. Решите уравнение (− 5x+3)(− x+6)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

22. Решите уравнение (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

23. Решите уравнение (− x−4)(3x+3)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

24. Решите уравнение (x−6)(4x−6)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

25. Решите уравнение (− 5x−3)(2x−1)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

26. Решите уравнение (x−2)(− 2x−3)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

27. Решите уравнение (5x+2)(− x−4)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

28. Решите уравнение (x−6)(− 5x−9)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

29. Решите уравнение (6x−3)(− x+3)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

30. Решите уравнение (5x−2)(− x+3)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

31. Решите уравнение

32. Решите уравнение

33. Решите уравнение

34. Решите уравнение

35. Решите уравнение

36. Решите уравнение

37. Решите уравнение

38. Решите уравнение

39. Решите уравнение

40 Решите уравнение

41. Решите уравнение x(x 2 +2x+1)=2(x+1).

42. Решите уравнение (x−1)(x 2 +4x+4)=4(x+2).

43. Решите уравнение x(x 2 +6x+9)=4(x+3).

44. Решите уравнение (x−1)(x 2 +8x+16)=6(x+4).

45. Решите уравнение x(x 2 +2x+1)=6(x+1).

46. Решите уравнение (x−1)(x 2 +6x+9)=5(x+3).

47. Решите уравнение (x−2)(x 2 +8x+16)=7(x+4).

48. Решите уравнение x(x 2 +4x+4)=3(x+2).

49. Решите уравнение (x−2)(x 2 +2x+1)=4(x+1).

50. Решите уравнение (x−2)(x 2 +6x+9)=6(x+3).

51. Решите уравнение (x+2) 4 −4(x+2) 2 −5=0.

52. Решите уравнение (x+1) 4 +(x+1) 2 −6=0.

53. Решите уравнение (x+3) 4 +2(x+3) 2 −8=0.

54. Решите уравнение (x−1) 4 −2(x−1) 2 −3=0.

55. Решите уравнение (x−2) 4 −(x−2) 2 −6=0.

56. Решите уравнение (x−3) 4 −3(x−3) 2 −10=0.

57. Решите уравнение (x+4) 4 −6(x+4) 2 −7=0.
58. Решите уравнение (x−4) 4 −4(x−4) 2 −21=0.

59. Решите уравнение (x+2) 4 +(x+2) 2 −12=0.

60. Решите уравнение (x−2) 4 +3(x−2) 2 −10=0.

61. Решите уравнение x 3 +3x 2 =16x+48.

62. Решите уравнение x 3 +4x 2 =4x+16.

63. Решите уравнение x 3 +6x 2 =4x+24.

64. Решите уравнение x 3 +6x 2 =9x+54.

65. Решите уравнение x 3 +3x 2 =4x+12.

66. Решите уравнение x 3 +2x 2 =9x+18.

67. Решите уравнение x 3 +7x 2 =4x+28.

68. Решите уравнение x 3 +4x 2 =9x+36.

69. Решите уравнение x 3 +5x 2 =4x+20.

70. Решите уравнение x 3 +5x 2 =9x+45.

71. Решите уравнение x 3 +3x 2 −x−3=0.

72. Решите уравнение x 3 +4x 2 −4x−16=0.

73. Решите уравнение x 3 +5x 2 −x−5=0.

74. Решите уравнение x 3 +2x 2 −x−2=0.

75. Решите уравнение x 3 +3x 2 −4x−12=0.

76. Решите уравнение x 3 +2x 2 −9x−18=0.

77. Решите уравнение x 3 +4x 2 −x−4=0.

78. Решите уравнение x 3 +4x 2 −9x−36=0.

79. Решите уравнение x 3 +5x 2 −4x−20=0.
80. Решите уравнение x 3 +5x 2 −9x−45=0.

81. Решите уравнение x 4 =(x−20) 2 .

82. Решите уравнение x 4 =(2x−15) 2 .

83. Решите уравнение x 4 =(3x−10) 2 .

84. Решите уравнение x 4 =(4x−5) 2 .

85. Решите уравнение x 4 =(x−12) 2 .

86. Решите уравнение x 4 =(2x−8) 2 .

87. Решите уравнение x 4 =(3x−4) 2 .

88. Решите уравнение x 4 =(x−6) 2 .

89. Решите уравнение x 4 =(2x−3) 2 .

90. Решите уравнение x 4 =(x−2) 2 .

91. Решите уравнение

92. Решите уравнение

93. Решите уравнение

94. Решите уравнение

95. Решите уравнение

96. Решите уравнение

97. Решите уравнение

98. Решите уравнение

99. Решите уравнение

100. Решите уравнение

101. Решите уравнение .

102. Решите уравнение

103. Решите уравнение

104. Решите уравнение

105. Решите уравнение

106. Решите уравнение

107. Решите уравнение

108. Решите уравнение

109. Решите уравнение

110. Решите уравнение

! От теории - к практике;

! От простого - к сложному

МАОУ "Платошинская средняя школа",

учитель математики, Мелехина Г.В.

Общий вид линейного уравнения: ax + b = 0 ,

Где a и b – числа (коэффициенты).

• если а = 0 и b = 0 , то 0х + 0 = 0 – бесконечно много корней;
• если а = 0 и b ≠ 0 , то 0х + b = 0 – нет решений;
• если а ≠ 0 и b = 0 , то ax + 0 = 0 – один корень, х = 0;
• если а ≠ 0 и b ≠ 0 , то ax + b = 0 – один корень,

! Если Х в первой степени и не содержится в знаменателе, то это - линейное уравнение

! А если линейное уравнение – сложное :

! Слагаемые с Х влево, без Х – вправо.

! Эти уравнения – тоже линейные .

! Основное свойство пропорции (крест накрест).

! Раскрыть скобки, с Х влево, без Х вправо.

• если коэффициент а = 1 , то уравнение называют приведённым :

• если коэффициент b = 0 или (и) с = 0 , то уравнение называют неполным :

! Основные формулы

! Ещё формулы

Биквадратным уравнением - называется уравнение вида ax 4 + bx 2 + c = 0 .

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки, тогда

Получим квадратное уравнение:

Найдём корни и и вернёмся к замене:

Пример 1:

Решить уравнение х 4 + 5х 2 – 36 = 0.

Решение:

Подстановка: х 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Корни уравнения t 1 = -9 и t 2 = 4.

х 2 = -9 или х 2 = 4.

Ответ: В первом уравнении корней нет, из второго: х = ±2.

Пример 2:

Решить уравнение (2х – 1) 4 – 25(2х – 1) 2 + 144 = 0.

Решение:

Подстановка: (2х – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Корни уравнения t 1 = 9 и t 2 = 16.

(2х – 1) 2 = 9 или (2х – 1) 2 = 16.

2х – 1 = ±3 или 2х – 1 = ±4.

Из первого уравнения два корня: х = 2 и х = -1, из второго тоже два корня: х = 2,5 и х = -1,5.

Ответ: -1,5; -1; 2; 2,5.

1) х 4 - 9 х 2 = 0; 2) 4 х 4 - х 2 = 0;

1) х 4 + х 2 - 2 = 0;

2) х 4 - 3 х 2 - 4 = 0; 3) 9 х 4 + 8 х 2 - 1 = 0; 4) 20 х 4 - х 2 - 1 = 0.

Решить уравнения выделением из левой части полного квадрата :

1) х 4 - 20 х 2 + 64 = 0; 2) х 4 - 13 х 2 + 36 = 0; 3) х 4 - 4 х 2 + 1 = 0; 4) х 4 + 2 х 2 +1 = 0.

! Вспомни квадрат суммы и квадрат разности

Рациональное выражение - это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Если r(x) - рациональное выражение, то уравнение r(x)=0 называют рациональным уравнением.

Алгоритм решения рационального уравнения:

1. Перенести все члены уравнения в одну часть.

2. Преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби p(x)/q(x)

3. Решить уравнение p(x)=0

4. Для каждого корня уравнения p(x)=0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию q(x)≠0 или нет. Если да, то это корень заданного уравнения; если нет, то это посторонний корень и в ответ его включать не следует.

! Вспомним решение дробного рационального уравнения:

! Для решения уравнений полезно вспомнить формулы сокращённого умножения:

Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным .

Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения - основной метод решения иррациональных уравнений.

Решив полученное в итоге рациональное уравнение, надо обязательно сделать проверку , отсеяв возможные посторонние корни.

Ответ: 5; 4

Ещё пример:

Проверка:

Выражение не имеет смысла.

Ответ: нет решений.

Разбор задания №4 на тему: "Решение уравнений различного типа"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Интерактивное пособие "Правила и упражнения по алгебре" для 9 класса
Мультимедийное учебное пособие для 9 класса "Алгебра за 10 минут"

Задание №4 требует умение решать уравнения различного типа. Ребята, вы должны хорошо усвоить методы правильного решения квадратных уравнений, дробно-рациональных уравнений, обычных линейных уравнений. Также вы должны хорошо уметь производить действия с многочленами: умножение и деление многочлена на многочлен. Вам понадобиться умение выбирать корни уравнения, которые входят в область решения и определять, какие корни надо выбросить и не учитывать?

Уроки которые помогут вам при подготовке данного задания:

1.Основные определения и примеры решений линейных функций.
2. Понятие и стандартный вид одночлена.
3. Многочлен, стандартный вид, приведение, преобразование.
4. Примеры на числовые выражения. Алгебраические выражения с переменными и действия с ними.
5. Уравнения, примеры решения уравнений.
6. Квадратные уравнения. Урок в разработке.
7. Дробно-рациональные уравнения. Урок в разработке.
8. Корень квадратный. Урок в разработке.

Перейдем к разбору примеров решения.

Пример 1.
Найдите корни уравнения: $16x^2-1=0$.

Решение.
Заметим, нам дано квадратное уравнение, но не полное. Коэффициент при х равен нулю. Тогда будем руководствоваться правилом: "те выражения, в которых есть х в квадрате, оставим слева, а все числа перенесем на право".
Преобразуем наше выражение: $16x^2=1$.

Разделим обе части уравнения на коэффициент при х квадрат: $x^2=\frac{1}{16}$.

Для решения данного уравнения, нам понадобятся знания корня квадратного. Извлечем корень, не забывая о том, что отрицательное число мы должны тоже учитывать: $x=±\sqrt{\frac{1}{16}}=±\frac{1}{4}=±0,25$.
Ответ: $x=±0,25$.

Пример 2.
Решите уравнение: $x^2=18-7x$.

Решение.
Перенесем все выражения в левую часть уравнения: $x^2+7x-18=0$.

Обычное квадратное уравнение мы можем решить двумя способами:
1. "в лоб", вычисляя дискриминант;
2. используя теорему Виетта.

1 способ.
Выпишем все коэффициенты при квадратном уравнении: $a=1$, $b=7$, $c=-18$.

Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=(7)^2-4*1*(-18)=49+72=121=(11)^2>0$.
Получили, что уравнение имеет 2 корня.
Нам осталось найти эти корни:
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7+11}{2}=2$.
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7-11}{2}=-9$.

2 способ.
Воспользуемся теоремой Виетта. Теорема Виетта часто упрощает решение квадратных уравнений во много раз, особенно когда коэффициент $а=1$. В этом случае произведение корней уравнения равно коэффициенту $с$, и сумма корней уравнения равна минус коэффициенту при $b$:
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.
$x_1*x_2=\frac{c}{a}$.

В нашем примере $с=-18$ и $b=7$. Начинаем перебирать пары чисел, произведение которых равно минус восемнадцать. Первые числа приходящие на ум - девятка и двойка. Произведя несколько простых перемножений и сложений можно убедиться, что нам подходят корни $х=-9$ и $х=2$.
$x_1*x_2=-9*2=-18=\frac{c}{a}$.
x$_1+x_2=-9+2=-7=-\frac{b}{a}$.
Ответ: $x=-9$, $x=2$.

Пример 3.
Решить уравнение: $x-\frac{x}{7}=\frac{15}{7}$.

Решение.
Нам дано обычное линейное уравнение с дробными коэффициентами. Для решения этого уравнения нужно правильно действовать с обычными дробями.
Первым действием преобразуем левую часть уравнения, упростив ее: $x-\frac{x}{7}=\frac{7x}{7}-\frac{x}{7}=\frac{6x}{7}$.
Получили уравнение: $\frac{6x}{7}=\frac{15}{7}$.
Разделим правую часть уравнения на коэффициент при х: $x=\frac{\frac{15}{7}}{\frac{6}{7}}$.

Рассмотрим отдельно деление: $\frac{\frac{15}{7}}{\frac{6}{7}}=\frac{15}{7}*\frac{7}{6}=\frac{15}{6}=2\frac{3}{6}=2\frac{1}{2}=2,5$.

Получили: $x=2,5$.
Ответ: $x=2,5$.

Пример 4.
Решите уравнение: $(x+2)^2=(x-4)^2$.

Решение.
Способ 1.
Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
$(x-4)^2=x^2-8x+16$.
Получили: $x^2+4x+4=x^2-8x+16$.
Упростим наше уравнение:
$x^2+4x-x^2+8x=16-4$.
$12x=12$.
$x=1$.

Способ 2.
При решении данного уравнения мы можем воспользоваться формулой разности квадратов. $(x+2)^2-(x-4)^2=0$.
$(x+2+x-4)(x+2-x+4)=0$.
$(2x-2)*(6)=0$.
$2x-2=0$.
$2x=2$.
$x=1$.
Ответ: $х=1$.

Пример 5.
Решить уравнение: $\frac{9}{x-14}=\frac{14}{x-9}$.

Решение.
Нам представлено дробно-рациональное уравнение. При решении данных уравнений стоит помнить о том, что делить на нуль нельзя. Поэтому корни уравнения стоит проверять всегда, подстановкой их в знаменатель исходного уравнения.
Воспользуемся правилом умножения крест на крест: $9(x-9)=14(x-14)$.
Получили линейное уравнение:
$9x-81=14x-196$.
$9x-14x=-196+81$.
$-5x=-115$.
$x=23$.
Проверив наш корень, убеждаемся, что знаменатели дробей исходного уравнения не обращаются в нуль.
Ответ: $x=23$.

Пример 6.
Найдите решения удовлетворяющие системе: $\begin {cases} x^2+9x-22=0, \\ x≤1 \end {cases}$.

Решение.
Сначала решим квадратное уравнение, воспользовавшись теоремой Виетта. Произведение наших корней равно $22$, а сумма равна $-9$.
Подберем корни:
$-11*2=-22$.
$-11+2=-9$.
Получили два корня: $x_1=-11$ и $x_2=2$. Из этих корней неравенству $x≤1$ удовлетворяет первый корень, он и будет ответом.
Ответ: $х=-11$.

Пример 7.
Решите уравнение: $23x-60-x^2=0$.
В ответе укажите модуль разности корней.

Решение.
Умножим исходное уравнение на $-1$: $x^2-23x+60=0$.
В такой форме уравнение смотрится гораздо привычнее.
Воспользуемся теоремой Виетта и представим наше уравнение, как произведение двухчленов:
$(x-20)(x-3)=0$.
Получили два корня $x_1=20$ и $x_2=3$.
Найдем модуль разности: $|x_1-x_2|=|20-3|=|17|=17$.
Ответ: 17.

Пример 8.
Сколько корней имеет уравнение $x^6-x^2=0?$

Решение.
Вынесем за скобку наименьшую степень: $x^2(x^4-1)=0$.
Теперь воспользуемся формулой разности квадратов:
$x^2 (x^2-1)(x^2+1)=0$.
И еще раз воспользуемся той же формулой:
$x^2 (x-1)(x+1)(x^2+1)=0$.
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений: Получили, что у данного уравнения три корня.
Ответ: 3.

Пример 9.
Решите уравнение: $\frac{(x-2)(2x+1)}{2-x}=0$.
Если уравнение имеет больше одного корня, то в ответ запишите больший из них.

Решение.
Исходное уравнение равносильно следующей совокупности: Решим каждое уравнение: Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, одно решение у нас отпадает. Получили один корень уравнения $х=-0,5$.
Ответ: -0,5.

Александр Шабалин

Учитель : Юргенсон Вероника Александровна

Класс: 9

Предмет: Алгебра

Тема урока: Урок-подготовка к ОГЭ в 9 классе «Квадратные уравнения».

Этап обучения по данной теме : подготовка к ОГЭ.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний

Цель:

Деятельностная: Формирование у учащихся умений реализовывать регулятивные способы действия.

Содержательная: - отработка способов решения квадратных уравнений;

Выработка умения выбирать наиболее рациональный способ решения;

Развивающая: формировать ключевые компетенции учащихся: информационную (умение анализировать информацию, сравнивать, делать выводы), проблемную (умение ставить проблемы и с помощью имеющихся знаний находить выход из ситуации); коммуникативную (умение работать в группах, умение слушать и слышать других, принимать мнение других)

Задачи для учителя:

Способствовать актуализации знаний учащихся о решении квадратных уравнений;

Организовать учебную деятельность для отработки способов решения квадратных уравнений;

Создать условия для формирования навыков для выработки умения выбирать наиболее рациональный способ решения;

Создать условия для формирования регулятивных УУД: целепологания, самооценки и самоконтроля, планирования.

Технология: Разноуровневого обучения

Методы обучения: Наглядный, словесный, метод взаимной проверки, метод совместного нахождения оптимального решения, временная работа в группах, создание проблемной ситуации, репродуктивные(инструктаж, иллюстрирование, объяснение, практическая тренировка). Методы самоконтроля.

Используемые формы организации познавательной деятельности учащихся:

Коллективная форма работы (фронтальный опрос, устная работа), групповая, индивидуальная работа (самостоятельная работа).работа в парах(взаимоопрос).

Оборудование и основные источники информации:

Компьютер, проектор, экран, презентация к уроку, по теме «Способы решения квадратных уравнений».

Лист результативности для контроля и самоконтроля.

Карточки-задания для разноуровневых самостоятельных работ

Технологическая карта урока:

Деятельность

ученика

Организацион-ный

Приветствие учеников

Приветствие учителя

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся

На итоговой аттестации часто встречаются задания, где необходимо уметь решать квадратные уравнения.

Сообщение цели урока :

Сегодня на уроке мы повторим, обобщим, приведем в систему изученные виды, методы и приемы решения квадратных уравнений.

По итогам своей работы, то есть по количеству набранных баллов каждый получит оценки.

Девиз урока: «Думаем, мыслим, работаем и помогаем друг другу»

(Слайд 2 ).

Слушают учителя.

Актуализация знаний.

Ребята, обычно мы начинаем урок с проверки домашнего задания.

Кто скажет, что нужно было повторить про квадратные уравнения?

Что такое квадратные уравнения?

Какие они бывают?

Какие методы решения квадратных уравнений вы знаете?

Отвечают на вопросы учителя проводят самооценку своих знаний.

Обобщение и систематизация знаний

1.Взаимоконт-роль.

Вот уравнения (слайд 3)

x 2 + 7 x – 18 = 0;

2 x 2 + 1 = 0;

x 2 –2 x + 9 = 0;

2 y 2 – 3y + 1 = 0;

2 y 2 = 1;

–2 x 2 – x + 1 = 0;

x 2 + 6 x = 0;

4x 2 =0;

– x 2 – 6 x=1

2 x + x 2 – 1=0

У вас на столе карточка с вопросами, на которые вам надо ответить (приложение 1).

(слайд 4 ) Проверяем результаты, поменяйтесь карточками с соседом.

Отвечают на вопросы

2. Фронтальная работа с классом.

На (слайде 5) записаны формулы с пропущенными элементами. Задача класса узнать, что это за формула и чего не хватает в записи этой формулы.

D = b ² – * a * .

D > 0 , значит * корня.

D * 0 , значит 1 корень.

D * 0 , значит * корней.

Отвечают на вопросы,

корректируют знания.

Решите уравнения с карточки. Один из членов группы покажет решение на доске.

Сравните ваши ответы с правильными, за каждый правильный ответ – 1 балл

Решают уравнения,

Объясняют решение.

Фронтальная работа с классом

Скажите, а могли бы вы сразу, не производя вычислений, ответить на мой вопрос: «Чему равна сумма и произведение корней квадратного уравнения?» (Один человек у доски записывает формулы теоремы Виета).

(слайд6)

Следующее задание: устно найти сумму и разность корней уравнения по теореме:

(ответы: 5 и 6; 9 и 20; -3 и 2) Знакомство с приёмом устного решения некоторых квадратных уравнений.

Теорема Виета находит широкое применение и в уравнениях вида a х 2 + b х + с = 0.

Использование некоторых свойств даёт значительные преимущества для быстрого получения ответа при решении квадратных уравнений.

Рассмотрим эти свойства (слайд7)

1) a + b +с = 0 х 1 = 1, х 2 = с/а.

5х 2 + 4х – 9 = 0; х 1 =1, х 2 = - 9/2.

2) а - b + с = 0 х 1 = - 1, х 2 = - с/а.

Например: 4х 2 + 11х + 7 = 0; х 1 = - 1, х 2 = - 7/4.

(слайд8)

3) а  в +с  0

Устно решить уравнение: х 2 + b х + ас = 0

Его корни разделить на а.

а) 2х 2 – 11х + 5 = 0.

Решаем устно уравнение: х 2 – 11х + 10 = 0. Его корни 1 и 10. Делим на 2.

Тогда х 1 = , х 2 = 5.

Ответ: ; 5.

(слайд9)

в) 6х 2 –7х – 3 = 0

Решаем устно уравнение: х 2 –7х – 18 = 0. Его корни -2 и 9. Делим на 6.

Тогда х 1 = - , х 2 = .

Ответ: -; .

Отвечают на вопросы. Заполняют пробелы в знаниях

Работа в разноуровневых группах

Прием «Соответствие»

Прием «Лови ошибку»

Решите уравнения, используя эти свойства (слайд 10)

I группа.

1)найдите сумму корней уравнения

2х 2 – 3х + 1 = 0

2) Найдите произведение корней уравнения

х 2 +9х +20 = 0

3)решите уравнение

10х 2 – 8х - 2= 0

II группа.

1)найдите сумму и произведение корней уравнения

3х 2 – 8х + 5 = 0

Решите уравнения

2)х 2 + 2х -24 = 0

3)2 х 2 -7х +5 = 0

III группа

Решите уранения:

1)х 2 +5х-6=0

2)5х 2 -7х+2=0

3)100х 2 -99х-199=0

Решают уравнения

Проверяют решение.

Проводят коррекцию знаний.

2.Соотнесите квадратные уравнения и способы их решения:

(слайд 11)

2х 2 – 3х + 11 = 0

7 х 2 = 8х

х 2 – 10х + 100 = 0

х 2 –5х –6 = 0

– 2х 2 + х +14= 0

-разложение на множители

- общая формула корней

-теорема Виета

3.Найдите ошибки в решении уравнений =

Ребята, выполнившие работу быстро, могут решить дополнительно задание (слайд 14), написанное на доске.

После выполнения проводится быстрая проверка. (слайд15)

А теперь посчитайте итоговое количество баллов и выставите себе оценку. (слайд16)

30- 24баллов –оценка 5;

23-18балла –оценка4;

12-17 балла –. оценка4

А ещё каждому выставляется оценка учителем, за активность, смелость, упорство. Ну, а если кому – то, сегодня не удалось набрать баллы на положительную оценку, то успех у вас ещё впереди, и он обязательно будет с вами в следующий раз.

Решают уравнения,

проводят самооценку.

Рефлексия.

Кто скажет, что сегодня мы повторили на уроке?

Вам понравилось, как мы это делали?

Продолжи фразы:

Теперь я точно знаю …

Я понял …

Я научился …

Моё мнение …

У каждого на столе цветные карточки.

Если ты доволен и удовлетворен уроком, поднимаешь – зеленую карточку.

Если урок интересный, и ты активно работал, поднимаешь – жёлтую карточку.

проводят самооценку.

Домашнее задание

(слайд 17) Решить уравнения из сборника заданий

Государственная итоговая аттестация

выпускников 9 класса.

А.В. Семенов, А.С.Трепалин, И.В.Ященко

по уровням

Выбирают задания по своему уровню